Hemarbete B, data Uppgift 1 Fiktiva skolbetyg Fictitious school report cards 20 elever, 9 ämnen, skala 4 - 10 20 students, 9 subjects, minimal grade 4, maximal 10 R: Religion S: Svenska Swedish Fi: Finska Finnish E: Engelska English M: Matematik Mathematics Fy: Fysik Physics B: Biologi Biology I: Idrott och gymnastik Physical Education T: Teckning Art Elev Ask Berg Carlén Danell Erling Frants Gram Homan Student R: 8 9 9 8 8 7 8 6 S: 8 7 9 7 8 8 6 6 Fi: 9 8 8 6 6 8 9 7 E: 10 9 9 7 7 8 7 7 M: 9 10 9 8 5 6 9 9 Fy: 8 10 8 9 6 5 8 8 B: 8 8 9 7 7 8 7 8 I: 6 8 7 8 10 9 9 7 T: 10 8 10 7 8 9 7 8 Elev Jansson Knuts Lind Malm Nyman Olsson Persson Qvick Student R: 6 8 9 10 8 6 7 9 S: 7 10 8 9 7 7 9 8 Fi: 9 9 6 8 8 9 9 8 E: 7 9 7 9 9 8 8 9 M: 9 8 6 9 7 6 7 7 Fy: 9 6 6 8 8 6 8 7 B: 7 8 7 7 7 7 8 8 I: 7 9 9 9 7 8 9 10 T: 10 6 6 7 8 9 10 7 Sätt själv in data för de övriga 4 eleverna. Complete the report card data yourself, for the remaining 4 students. Uppgiften är att hitta en huvudriktning i den punktsvärm i det 9-dimensionella rummet som betygen bildar. Uppgiften är en uppföljning av Hemarbete A, uppg. 1. Skapa en kovariansmatris mellan de 9 vitsorden. Kovariansmatrisen är positivt definit. Den kan diagonaliseras. Huvudkomponenten, en linjär kombination av vitsorden i de olika ämnena, kan kallas "allmän intelligens", "allmän begåvning i att klara sig i skolan" el.dyl. Bestäm de olika elevernas allmänna intelligens. Skiljer det sig från medelvitsordet? The problem is to identify the main direction in the point cloud defined by the report cards in 9-dimensional space. It is really a sequel to Problem 1 in the Christmas assignment. Create a covariance matrix between the 9 subjects. The covariance matrix is positive definite and may be diagonalized. The main component is a linear combination of the marks in the different subjects. It could be called, e. g., "general intelligence" or "school talent". Determine the grades of the different students in the new artificial subject "general intelligence". Does it differ from the arithmetical average? Anm. Uppgiften är ett exempel på s.k. faktoranalys Remark. The procedure is a simple example of Factor Analysis Uppg. 2 Ledning: För att hitta ett optimalitetskriterium betraktas felet f_i = y_i - (ax_i + b). Det visar sig att då ax + b är optimal så fluktuerar felet f på ett bestämt sätt. Också i 1-optimeringen spelar felfunktionen en central roll. Ref.: M. J. D. Powell: Approximation Theory and Methods Björck-Dahlqvist: Numeriska metoder Internetsidor (sökord: uniform approximation, minimax, equioscillation) Hint: To find an optimality criterion look at the error f_i = y_i - (ax_i + b). It turns out that when ax+b is optimal then the error f varies in a certain fashion. The error function plays a central role also in the theory of 1-approximations. Ref.: M. J. D. Powell: Approximation Theory and Methods Web pages (keywords: uniform approximation, minimax, equioscillation)