Hemuppgifter i Matriser

Paragraf 8: 6, 9.

A.

I en triangel med sidorna a, b och c må de motstående vinklarna vara a, b respektive g. Med hjälp av enkel trigonometri fås sambanden

bcosg+ ccosb =a ccosa+ acosg =b acosb+ bcosa =c  .

Använd Cramers regel till att härleda formler för cosa, cosb och cosg.

B.

Bestäm egenvärden och baser i egenrummen för matriserna

æ ç ç ç è 2 6 10 6 ö ÷ ÷ ÷ ø  ,    æ ç ç ç ç ç è 3 0 0 -2 3 -2 2 0 5 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø  .

C.

Bestäm egenvärden och baser i egenrummen för A⁹⁰, då

A= æ ç ç ç ç ç è 1 -1 -1 -2 0 1 2 2 1 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø  .

(Ledning: Bestäm först egenvärden och baser i egenrummen för A.)

D.

Visa att den karakteristiska ekvationen för en (reell) 2/2-matris A kan skrivas l²-tr(A)l+det(A)=0. Bestäm villkoret för att A skall ha enbart reella egenvärden samt verifiera att detta villkor gäller för alla symmetriska 2/2-matriser.

E.

Antag att u=(

1

2

3

)^T och v=(

3

2

1

)^T. Bestäm (den ortogonala) projektionen av u på v samt av v på u.