Hemuppgifter i Matriser

Hemuppgifter i Matriser

A.
Visa att i ett euklidiskt vektorrum gäller att
(x,y)=  1

4
(\normx+y2-\normx-y2)
för varje x och y.
B.
Låt X={x1,...,xn} vara en mängd (n 3) och låt A1,...,Am vara äkta delmänger av X (då är Ak X för alla k), sådana att varje par xi, xj av olika element i X bägge finns i precis en delmängd Ak. Låt B=(bik) vara den s.k. incidensmatrisen, som är definierad av att bik=1 om xi Ak och bik=0 om xi Ak
(a)
Visa att BBT är en matris som består av enbart ettor utom i diagonalen, där vi har talen r1,...,rn. Dessa tal ri anger för hur många k det gäller att xi Ak (inte sant?).
(b)
Notera att ri 2 på grund av att n 3.
(c)
Matrisen BBT är icke-singulär enligt hemuppgift B vecka 8. Använd formeln för rangen av en matrisprodukt till att visa att m n, dvs. använd formeln
r(CD) min
(r(C),r(D)) ,
där r(X) betecknar rangen av en matris X.
C.
Visa att om {xy} är ett ON-system i ett euklidiskt vektorrum, så är \normx-y=2.
D.
Låt U vara det underrum av R3 som uppspänns av (
1
1
-2
)T. Skriv vektorn x=(
2
1
3
)T på formen x=x1+x2, där x1 U och x2 U^. Paragraf 5: Uppgifterna 8, 15, 16.
E.
Beräkna detA både för
A=



1
2
3
4




   och    A=





1
2
3
4
5
6
7
8
9






 .




File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 2 Oct 2001, 00:44.