Hemuppgifter i Matriser

A.

Visa att i ett euklidiskt vektorrum gäller att

(x,y)=  1 4 (\normx+y2-\normx-y2)

för varje x och y.

B.

Låt X={x₁,...,x_n} vara en mängd (n ³ 3) och låt A₁,...,A_m vara äkta delmänger av X (då är A_k ¹ X för alla k), sådana att varje par x_i, x_j av olika element i X bägge finns i precis en delmängd A_k. Låt B=(b_ik) vara den s.k. incidensmatrisen, som är definierad av att b_ik=1 om x_i Î A_k och b_ik=0 om x_i Ï A_k

(a)

Visa att BB^T är en matris som består av enbart ettor utom i diagonalen, där vi har talen r₁,...,r_n. Dessa tal r_i anger för hur många k det gäller att x_i Î A_k (inte sant?).

(b)

Notera att r_i ³ 2 på grund av att n ³ 3.

(c)

Matrisen BB^T är icke-singulär enligt hemuppgift B vecka 8. Använd formeln för rangen av en matrisprodukt till att visa att m ³ n, dvs. använd formeln

r(CD) £ min (r(C),r(D)) ,

där r(X) betecknar rangen av en matris X.

C.

Visa att om {x, y} är ett ON-system i ett euklidiskt vektorrum, så är \normx-y=Ö2.

D.

Låt U vara det underrum av R³ som uppspänns av (

1

1

-2

)^T. Skriv vektorn x=(

2

1

3

)^T på formen x=x₁+x₂, där x₁ Î U och x₂ Î U^{^}. Paragraf 5: Uppgifterna 8, 15, 16.

E.

Beräkna detA både för

A= æ ç ç ç è 1 2 3 4 ö ÷ ÷ ÷ ø    och    A= æ ç ç ç ç ç è 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø  .