Hemuppgifter i Matriser

Paragraf 5: 1, 3, 6.

A.

Visa att (p,q)=p(-1)q(-1)+3p(1)q(1)+5p(7)q(7) är en skalär produkt i vektorrummet P₂={polynom avgraden  £ 2}.

B.

Visa med hjälp av uppgift B vecka 8 att (x,x) ³ 0 för varje x Î R³ och att likhet gäller om och endast om x=0, då produkten (x,y) är definierad genom

(x,y)=xT æ ç ç ç ç ç è 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø y

(att de övriga axiomen för en skalär produkt gäller, är trivialt). Se efter vad Schwarz olikhet ger i det fall att x=(

x1

x2

x3

)^T och y=(

1

1

1

)^T.

C.

Cosinerna cosa, cosb och cosg för vinklarna mellan en vektor x ( ¹ 0) och vektorerna e₁, e₂ och e₃ i den naturliga basen i R³ kallas riktningscosinerna för x. Visa att cos²a+cos²b+cos²g = 1. Paragraf 5: Uppgifterna 7, 9, 10.

D.

Visa att i varje euklidiskt vektorrum E gäller att

\normx+y2+\normx-y2=2\norm x2+2\norm y2

för varje x, y Î E. Tolka formeln geometriskt!