Hemuppgifter i Matriser

Hemuppgifter i Matriser

Paragraf 3: Uppgift 21.

A.
En kubisk ri-funktion f(x) genom givna punkter (x0,y0),..., (xn,yn) är definierad i varje intervall [xi-1,xi] (i=1,...,n) som ett tredjegradspolynom qi(x). Dessa polynom är valda så att f(x), f(x) och f(x) blir kontinuerliga i skarvningspunkterna x1,..., xn-1. Om man dessutom kräver att f(x0)=f(xn)=0 så sägs den kubiska ri-funktionen vara naturlig. Om alla intervall har samma längd h=xi - xi-1, i=1,...,n, så är
qi(x)=tyi+(1-t)yi-1+ht(1-t) [(ki-1-di)(1-t) - (ki-di)t] ,
där x=xi-1+th, di=(yi-yi-1)/h och talen k0,...,kn fås ur matrisekvationen












2
1
0
..
0
0
1
4
1
..
0
0
0
1
4
..
0
0
-
-
-
-
-
-
0
0
0
..
4
1
0
0
0
..
1
2
























k0
k1
k2
-
kn-1
kn












= 3











d1
d1+d2
d2+d3
-
dn-1+dn
dn












 .
Bestäm den naturliga kubiska ri-funktionen genom (0,1), (1,3) och (2,2).
B.
Låt A vara en n/n-matris som har talen d1,..., dn i diagonalen men i övrigt består ettor. Antag att di > 1 för varje i. Visa att xTAx > 0 för varje n/1-vektor x 0 och slut härav att A är icke-singulär. (Ledning: Skriv A som summan av en diagonalmatris med talen di-1 i diagonalen och en matris som består av enbart ettor.)
C.
Är följande delmängder underrum av vektorrummet P av alla polynom:
(a)
U={p P | p(x)=ax7, a R};
(b)
V={p P | p(x)=a+2x, a R};
(c)
W={p P | p(-1)=p(1)=0}; Paragraf 4: Uppgifterna 8, 10, 11, 13 b).
D.
Undersök om mängden av vektorer {(
3
2
5
1
), (
2
3
3
2
),

1
-1
2
-1


,


1
1
1
1


} är linjärt beroende eller linjärt oberoende.




File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 2 Oct 2001, 00:43.