Hemuppgifter i Matriser

Paragraf 3: Uppgift 21.

A.

En kubisk ri-funktion f(x) genom givna punkter (x₀,y₀),..., (x_n,y_n) är definierad i varje intervall [x_i-1,x_i] (i=1,...,n) som ett tredjegradspolynom q_i(x). Dessa polynom är valda så att f(x), f¢(x) och f¢¢(x) blir kontinuerliga i skarvningspunkterna x₁,..., x_n-1. Om man dessutom kräver att f¢¢(x₀)=f¢¢(x_n)=0 så sägs den kubiska ri-funktionen vara naturlig. Om alla intervall har samma längd h=x_i - x_i-1, i=1,...,n, så är

qi(x)=tyi+(1-t)yi-1+ht(1-t) [(ki-1-di)(1-t) - (ki-di)t] ,

där x=x_i-1+th, d_i=(y_i-y_i-1)/h och talen k₀,...,k_n fås ur matrisekvationen

æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è 2 1 0 .. 0 0 1 4 1 .. 0 0 0 1 4 .. 0 0 - - - - - - 0 0 0 .. 4 1 0 0 0 .. 1 2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è k0 k1 k2 - kn-1 kn ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø = 3 æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è d1 d1+d2 d2+d3 - dn-1+dn dn ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø  .

Bestäm den naturliga kubiska ri-funktionen genom (0,1), (1,3) och (2,2).

B.

Låt A vara en n/n-matris som har talen d₁,..., d_n i diagonalen men i övrigt består ettor. Antag att d_i > 1 för varje i. Visa att x^TAx > 0 för varje n/1-vektor x ¹ 0 och slut härav att A är icke-singulär. (Ledning: Skriv A som summan av en diagonalmatris med talen d_i-1 i diagonalen och en matris som består av enbart ettor.)

C.

Är följande delmängder underrum av vektorrummet P av alla polynom:

(a)

U={p Î P | p(x)=ax⁷, a Î R};

(b)

V={p Î P | p(x)=a+2x, a Î R};

(c)

W={p Î P | p(-1)=p(1)=0}; Paragraf 4: Uppgifterna 8, 10, 11, 13 b).

D.

Undersök om mängden av vektorer {(

3

2

5

1

), (

2

3

3

2

), æ
ç
è

1

-1

2

-1

ö
÷
ø ,
æ
ç
è

1

1

1

1

ö
÷
ø } är linjärt beroende eller linjärt oberoende.