Hemuppgifter i Matriser

A.

Bestäm en permutationsmatris P sådan att PA kan LU-faktoriseras och bestäm faktoriseringen, då

A= æ ç ç ç ç ç ç ç è 2 1 3 1 2 2 1 3 4 1 0 3 2 -1 4 0 3 2 1 3 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø  .

(Räkna på som vanligt trots att matrisen inte är kvadratisk.) Observera att multiplikatorer l, som i A användes till att sätta in nollor i den i:te pivotkolonnen, i matrisen L placeras i i:te kolonnen. Kontrollera genom att bilda produkten LU.

B.

En bjälke, som stöds under bägge ändorna, påverkas av tre krafter f₁, f₂, f₃ som i figuren, varvid bjälken förskjuts nedåt (på de ställen där krafterna verkar) sträckorna y₁, y₂, y₃. Låt f och y vara kolonnvektorerna med komponenterna f_i resp. y_i. Enligt Hooke's lag är y=Df, där D är en 3/3-matris. Förklara hur kolonnerna i D (flexibilitetsmatrisen) kan bestämmas genom att applicera lämpliga krafter. Vilken fysikalisk tolkning har kolonnerna i D^-1 (styvhetsmatrisen)?













Paragraf 3: Uppgifterna 14, 17, 21 (förutsett att bara (BO1) används), 23.

C.

Bildar mängden av alla matriser av formen

æ ç ç ç è a -b b a ö ÷ ÷ ÷ ø        (a, b Î R)

ett vektorrum, då operationerna är vanlig matrisaddition och vanlig multiplikation av en matris med en skalär? Paragraf 4: Uppgift 2, 6.