Till matematikens huvudsida | Tillbaka till kurssidorna

Matematiska Institutionen

Kursernas Hemsidor

273031-2 HILBERT SPACES / HILBERT RUM I-II 5+5 sp

Aim: A Hilbert space is the infinite-dimensional version of an n-dimensional euclidean space, and it is one of the most used mathematical tools in applied mathematics, stochastics, physics, control theory, etc. For example, the modern theory of partial differential equations is largely based on Hilbert space techniques, as is standard optimization theory (including optimal control), wavelet compressions, and many of the standard models in quantum physics. In this course we learn about the properties of operators in Hilbert spaces and possible applications of Hilbert space techniques.

Målsättning: Ett Hilbertrum är en generalisering av ett n-dimensionellt euklidiskt rum, och det är ett av de mest använda matematiska hjälpmedlen i tillämpad matematik, fysik, reglerteknik mm. T.ex. baserar sig den moderna teorin för partiella differentialekvationer på teorin för Hilbertrum, och det gör också de vanli­gaste optimeringsmetoderna (inklusive optimal reglering), krus­nings­­baserade kompressionsalgoritmer och många av standardmodellerna inom kvantfysiken. I denna kurs bekantar vi oss med Hilbertrummets egenskaper och användnings­möjligheter.

Contents, Part I: Inner product spaces, normed spaces, Hilbert and Banach spaces, orthogonal expansions, classical Fourier series, dual spaces, linear operators.
Innehåll, Del I: Normerade och unitära rum, Hilbertrum och Banachrum, ortogonala expansioner, klassiska Fourierserier, duala rum, linjära operatorer.

Contents, Part II: Compact operators, spectrum and eigenvalues, Sturm-Liouville operators, Green's functions, eigenfunction expansions, positive operators, contractive operators, singular values.
Innehåll, Del II: Kompakta operatorer, spektrum och egenvärden, Sturm-Liouville operatorer, Greens funktion, egenfunktionsexpansioner, positiva operatorer, singulära värden.

Mode of Assessment: Home work and written exam.
Arbetsformer: Föreläsningar och hemarbeten

Literature/Litteratur: N. Young, An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, 1988.

Prerequisits: Analysis and linear algebra.
Förkunskaper: Analys och linjär algebra.

Lecture Notes: Hand written lecture notes in English which complement the course book mentioned above will be added here, as the course progresses.

Home Work: Home work assignments in English will be added here, as the course progresses.

Time: The two fall semesters 2010, Tuesdays 15-17, Wednesdays 13-15, and Thursdays 10-12 in Hilbertrummet (ASA B329). The first lecture in Part II will be given on Tuesday Oct 26, 15-17.