Slutförhör den 14 december 2001

1. Undersök om talföljden {x_n }_n=0^¥ , definierad genom x₀ = 0 och

xn+1 = 1+ Ö   2xn   , n=0,1,2, ¼,

är konvergent och beräkna i så fall gränsvärdet.

2. Bevisa Bolzano-Weierstrass' sats: Varje begränsad talföljd innehåller åtminstone en konvergent delföljd. intervall. Låt {x_n }_n=1^¥ vara en talföljd i [a,b]. Bevisa att {x_n } har åtminstone en konvergent delföljd.

3. Undersök

lim n ® ¥  æ è cos  x n ö ø n2   , x Î Â.

4. Antag att den kontinuerligt deriverbara funktionen f antar värdet 5 i punkten x = 1 samt att "x: f¢(x) £ x² . Bevisa att f(4) £ 26 .

5. Bestäm Maclaurinpolynomet av grad 4 till funktionen

x ®   ex 1-x2