Kompletteringsuppgifter

Kompletteringsuppgifterna kan väljas fritt bland nedanstående blandade problem.

by 1

100.

[090499; 080199; 280697; 121294]

a)

Låt f vara en funktion definierad i intervallet [a,b]. Vad menas då man säger att f är Riemann-integrerbar?

b)

Visa att gränsvärdet

lim n®¥  n-1 å k=1   1 Ö n2-k2

existerar och har värdet p/2.

100.

[040998] Visa att man kan bestämma konstanten a så att gränsvärdet

lim x® 0+  xa æ è eÖx-1-Öx-  x 2 ö ø

existerar och är ¹ 0. Ange detta gränsvärde.

100.

Låt a vara ett godtyckligt icke-negativt tal och inför för n=1,2,¼

x1=a,        xn+1=   æ Ö 2+ Ö xn   .

Visa att lim_n®¥ x_n existerar och är oberoende av a. (Ledning: Visa att funktionen x ® Ö{2 + Öx} är kontraktiv på det relevanta området.)

100.

[031195] Bestäm

lim x® 0+  (1+xa)lnx        (a Î R).

100.

[130594] Beräkna

lim x® 0   1 x4 ó õ x 0  sint3dt.

100.

[191297] Visa att för varje s > 0 och 0 < x < 1/s gäller att

s £  esx-1 x £  s 1-sx .

100.

[240197] Låt f vara en kontinuerlig funktion i [0,1] sådan att f(x) < 1 för varje x. Visa att ekvationen

2x- ó õ x 0  f(t)dt=1

har exakt en rot i intervallet (0,1).

100.

[010795; 140593; 100186] Beräkna f⁽¹⁹⁾(1), då

f(x)=  1-x2 x2-2x .

100.

Bestäm största och minsta värde av funktionen x® f(x)=ò₀¹ |e^t-e^x|dt (om de existerar).

100.

[180191] Undersök för vilka värden på a som funktionen given av f(x)=e^x-a|x-1| är växande i hela R.

100.

[070990] Undersök hur många gånger funktionen

x® f(x)=(x5-x6)1/3

är deriverbar till höger i origo.

100.

[210479; 240272] Visa för alla x Î R olikheten

ó õ x 1  et2dt £  1 2 (ex2-e).

100.

[020477] Funktionen f är deriverbar med växande derivata i R₊. Visa att om f är kontinuerlig i origo och f(0)=0 så är funktionen x® f(x)/x växande i R₊. Angiv noggrant hur de gjorda antagandena utnyttjas.

100.

[200575] Undersök om funktionen

(sinx-x)999-x2996

har ett lokalt extremum i origo.