Analys I, räkneövning vecka 47/2001.

1) Betrakta 0 £ x £ 1. Visa att ekvationen nedan kan lösas för a=1/3 men inte för a=1. (Knepigare: Hur är det för a=1/2 ?)

ó õ x 0  et2 t2 dt=a

2) Beräkna f⁽¹⁹⁾(¹/₂), då

f(x)= x+  1 2  7 4 +x-x2 .

3) Den kontinuerligt deriverbara funktionen f antar värdet 2 i punkten x=1. Vidare gäller "x: f¢(x) £ x². Visa att f(4) £ 23.

4) Funktionen f definierad av potensserien

f(x)= ¥ å k=0    (-1)k (2k+1)!  x2k+1

har oändlig konvergensradie. Den är har således derivata av godtycklig ordning på R. Visa, genom att derivera den två gånger termvis, att den uppfyller differentialekvationen

f¢¢(x)+f(x)=0,   "x Î R.

Analys I, räkneövning vecka 47/2001.

1) Betrakta 0 £ x £ 1. Visa att ekvationen nedan kan lösas för a=1/3 men inte för a=1. (Knepigare: Hur är det för a=1/2 ?)

ó õ x 0  et2 t2 dt=a

2) Beräkna f⁽¹⁹⁾(¹/₂), då

f(x)= x+  1 2  7 4 +x-x2 .

3) Den kontinuerligt deriverbara funktionen f antar värdet 2 i punkten x=1. Vidare gäller "x: f¢(x) £ x². Visa att f(4) £ 23.

4) Funktionen f definierad av potensserien

f(x)= ¥ å k=0    (-1)k (2k+1)!  x2k+1

har oändlig konvergensradie. Den är har således derivata av godtycklig ordning på R. Visa, genom att derivera den två gånger termvis, att den uppfyller differentialekvationen

f¢¢(x)+f(x)=0,   "x Î R.